Sólidos geométricos

QUEM FOI PLATÃO?

(427 a.C - 347 a.C.)

 

Quando o filósofo Sócrates foi condenado à morte, em 399 a.C., pelo governo de Atenas (sob a acusação de "perverter a juventude" com seus ensinamentos filosóficos), Platão, que era seu discípulo, preferiu deixar a cidade. Passou então alguns anos percorrendo outras partes do mundo grego, desde o norte da África até a Itália, e nessas andanças tomou contato com os ensinamentos pitagóricos. Com 40 anos, retomou a Atenas e dedicou-se inteiramente à filosofia, fundando uma escola chamada "Academia".

Sua obra filosófica está escrita em forma de diálogos. É nela, inclusive, que estão contidas as idéias de Sócrates (que não deixou escritos).

(Platão e Sócrates)

Segundo Platão, os sentidos físicos não nos revelam a verdadeira natureza das coisas. Por exemplo, ao observarmos algo branco ou belo, jamais chegaremos a ver a brancura ou a beleza plenas, embora tragamos, dentro de nós, uma idéia do que elas são. Assim, as únicas coisas de fato permanentes e verdadeiras seriam as idéias. O mundo físico, por sua vez, não passaria de uma cópia imperfeita e mutável delas. Observar o mundo físico (tal como a ciência faz hoje em dia) pouco serviria, portanto, para alcançarmos uma compreensão da realidade, embora servisse para reconhecermos, ou recordarmos, as idéias perfeitas que traríamos dentro de nós.
O filósofo reconhecia na Matemática a importância de permitir realizar abstrações, aproximando-se assim do mundo perfeito das idéias. Talvez por isso tenha sido atribuído a ele o conceito dos cinco poliedros "perfeitos" (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, também conhecidos como poliedros de Platão), na verdade descritos por Pitágoras mais de cem anos antes. Esses sólidos geométricos expressariam, em suas formas regulares, a perfeição do mundo ideal.
Os corpos celestes, por sua vez, descreveriam circunferências (pois esta seria a curva perfeita) em torno da Terra, mantendo-se em órbita por estarem presos a esferas cristalinas concêntricas.

(Academia de Platão)

A Academia, que Platão fundou, se manteve em funcionamento após sua morte, aos 80 anos. Ela só seria fechada oito séculos depois, por ordem do imperador Justiniano. A filosofia platônica, porém, continuaria a ter influência sobre o pensamento da Igreja até o século XIII, quando os conceitos de Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.) passariam a ser mais dominantes.

Os poliedros de Platão

O que é um poliedro?

Trata-se de um objeto com muitas faces. Um poliedro tem “bicos”, que são os ângulos poliédricos, e faces planas, que são os polígonos.
Um poliedro que tenha com faces apenas polígonos regulares, todos idênticos, e que também apresente todos os bicos (ângulos poliédricos) idênticos entre si é um poliedro regular.
Platão, por volta do século VI antes de Cristo, estudou certa classe de poliedros; que vieram posteriormente, ser conhecidos como os poliedros de Platão, entre os quais se incluem os poliedros regulares.
De um poliedro de Platão, exige-se que:
* Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;
* Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.

Quantos são os poliedros de Platão?
Só existem cinco tipos de poliedros de Platão, regulares ou não, que são:

1. Tetraedro

2. Octaedro

3. Icosaedro

4. Hexaedro

5. Dodecaedro 

Obs: Na tentativa de construir poliedros regulares, verificamos, na prática, que não é possível fazê-lo nem com hexágonos, nem com polígonos que tenham mais do que seis lados.

Obs 2: Os poliedros podem ser convexos ou não-convexos.

TEOREMA DE EULER

Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação

V – A + F = 2

Essa relação é verdadeira para todos os poliedros convexos.

O poliedros regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII dos “Elementos” de Euclides (cerca de 300 a.C.) é inteiramente dedicado aos sólidos regulares e contém extensos cálculos que determinam, para cada um, a razão entre o comprimento da aresta e o raio da esfera circunscrita.

Obs 3: A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é

S = (V – 2).4r

Onde V é o número de vértices e r é um ângulo reto.

A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo é dada pela expressão

S = (V – 2) . 360

Imagens de poliedros